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われわれがこれまで考えてきた上に、
オクターブの進行を含む１：２、１：４、１：８、１：１６の関係は、
数字２のみにより形成される。
というのは、４は２の２倍、８は２の４倍、１６は２の８倍であるからである。
それゆえに、われわれが音楽に数字2だけを認めるならば、
われわれは、音楽家が１、２、３オクターブと呼ぶ和音
またはコンソナンス（協和音）だけの知識に達するはずなのだ。
さらに数字２は倍加することにより数字４，８，１６，３２，６４のみを与えるが、
ここでは常に前にある値を２倍し、（６４以降の）他の数は未知のままとする。
さて、音がＣ，ｃ、 、 、 と印されるように、
楽器がオクターブのみを含み、さらにその他全ての音が除外されたなら、
あまりに単純化され過ぎて心地よい音楽は生まれることができない。
次に、数字２、数字３を共に紹介しよう。
そして和音またはコンソナンス（協和音）の結果何が起きるのか観察してみよう。
１：３の比はすぐに２つの音を表わし、一方は同時に他方よりも３倍多く振動する。
この比はおそらく１：２の比の次に最も容易に理解できる。
従って、それはオクターブの比とは全く異なった性質の、
非常に心地よいコンソナンス（協和音）を提供するだろう。
次に、数字１が音Cに一致する１：３の比でのそれを仮定してみよう。
音ｃは数字２によって表現されるので、
数字3はｃより高い音を与えるが、
同時に数字４に一致する音よりも低い。
さて、数字３で表現される音は
音楽家が文字ｇを付ける音であり、
かれらはｃからｇの間隔を５度と呼ぶ、
なぜなら、ハープシコードの鍵盤で、
ｇの音はｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇのようにｃから５番目であるからだ。
そのとき、もし数字１が音Ｃを発生するなら、数字2はｃを、数字3はｇを、
数字４は音を与えるだろう。
音ｇのオクターブ上の音 は、それに一致する数字２の３倍または６だろう。
さらに１オクターブ上がると、音 は２倍大きい数、即ち１２に一致するだろう。
それ故に、２つの数字２と３がわれわれに示す全ての音は、音Ｃを１で示すと、
となる。
故に、１オクターブと５度を混合した１：３の比が間隔を表わすことは明らかである。
そして、それを表現する数の単純さのために、
この間隔はオクターブに続いて耳にもっとも心地良いのである。
したがって、音楽家は第五までのコンソナンス（協和音）間に第二を配置する。
そして、聴覚はそれを非常に容易に捕らえるので、第五を調音するのに困難は無い。
この理由により、バイオリンでは、４本の弦が５度、
つまり最も低いｇ、第二が 、第三が 、第四が までの音を発生する。＊
そしてあらゆる音楽家が聴覚だけでそれらを調律する。
しかしながら、５度は１オクターブのように容易に調音できない。
１：３の比により表現されるＣからｇのようにオクターブを超える５度は、
２：３の比で表現されるＣからＧまたはｃからｇのように単純な５度よりも知覚可能である。
そして、音Ｃに固定することで、
同様に単純なＧよりもより高い５番目のｇに調律することが容易であることは
実験により知られている。
もし１が音Ｆに印されると、数字３は音を示す。
そのために
 は
 と示され、ｆからｃの間隔は２：３の関係で第五となる。
 から、 からもまた４：６、８：１２の比と同様２：３の比と同じである。
というのは、もし２つの弦が同時に１つが４振動、もう一つが６振動を行ったなら、
前者の弦は最初の時間間隔の半分に等しい時間で２つの振動を起こすだろう。
第二は、同時に３つの振動を起こすだろう。
次に、これらの弦から発せられる音は２つの場合同じである。
４：６の関係の結果は２：３のそれと同じ間隔を表わす。即ち第5である。
その結果、われわれは、との比であり、
結果としてｃとｆ、ＣとＦの比でもである３：４の比を含んだ別の間隔の知識に到達した。
音楽家はそれを４度と呼ぶ。
そして、より大きな数によって表現されると、
多すぎて、それは5度のようにあまり心地よくなく、
オクターブよりもさらに少ない。
数字３は新しい和音またはコンソナンス（協和音）、即ち５度と４度を示すので、
われわれが他の名前で呼ぶ前に、
音３または（１オクターブおよび５度）より高い音を与える数字９を手にするために、
それを再度３倍しよう。
さて、はの1オクターブ上であり、はから５度である。
そのとき、数字９は音を与える。そのため、
 は、
 と印されるだろう。
そして、もしこれらの音が低いオクターブで取られるならば、
関係はそのまま同じで、新たな間隔の知識へとわれわれを導くのである。
第一は、音楽家が２度または全音と呼ぶ８：９の比を含んだＦ：Ｇの比である。
第二は、７度と呼ばれる９：１６の比を含んだＧ：ｆの比であり、
さらにそれは１オクターブ以下の２度または全音である。
既に非常に大きな数で表現されるこれらの比は、コンソナンス（協和音）間を数えられない。
また音楽家はそれらをディソナンスまたはディスコード（不協和音）と呼ぶ。
繰り返すが、もしわれわれが数字９を３倍すると２７となり、
それはよりも高い音程を示し、正確にはｇよりも５度高い。
従って、それは音程であり、
その１オクターブ上の は数字２７の２倍、５４と一致し、
さらにその２倍オクターブ上の は数字５４の２倍、１０８と一致する。
次の方法でこれらの音を低いほうのいくつかのオクターブで表わしてみよう。
故に、われわれは、ＤからＦの間隔が２７：３２の比に等しく、
Ｆ：ｄの間隔が３２：５４の比に等しく、
２で割り切れる２つの数であるということを知る。
さらに、この関係から、われわれは１６：２７の比を知るのである。
最初の間隔はtierce minor（ティアスマイナー：３度短音程）、
またはlesser third（３度以下）と呼ばれ、
他はさらにgreater sixth（６度以上）と呼ばれる。
数２７はさらに３倍されたものでなけれならない。
しかし、音楽は限りなく広がることはなく、
そしてわれわれは３そのものを３度掛けた３の結果としての数字２７までに制限する。
さらに望みの他の音楽の音は数５により始まり、次の私の手紙で説明されるだろう。
１７６０年５月３日
（編注：＊ 即ち、音節の一式（ド、レ・・・シ）を借りていえば、ソ、レ、ラ、ミである。） |